所谓金融衍生产品（也称金融衍生工具）就是一种证券，其价值依赖于其他更基本的标的变量(underlying)，它所依附的标的变量几乎可以是任何变量，从生猪价格到某个滑雪胜地的降雪量。

 

一、期货与远期合约

期货与远期交易是与现货交易相对应的概念，是为了避免现货市场上的价格波动风险而产生的。我们先介绍期货与远期合约的发展及有关的基本概念，然后讨论期货与远期合约的定价问题。

 

（一）期货与远期合约的发展

期货与远期合约的发展经历了以下过程：商品远期→商品期货→金融期货。商品期货市场最早起源于欧洲，早在公元前的希腊和罗马就已有带有期货交易性质的交易活动。商人们往往在农产品收割前向农民预购产品，待收割后农民才交付产品。这是最原始的先买卖后交割的远期贸易。严格地说，现代期货交易勃兴于19世纪美国的中西部地区，其中心则在芝加哥。1848年，美国第一家中心交易所——芝加哥商品交易所（CBOT）成立，现已成为世界上最大的综合性期货交易所之一。

早期的商品期货交易对象主要是农产品，后来还包括各种金属等。自20世纪70年代以来，期货市场上市商品不断变化，商品期货逐渐退居次要地位，而货币、股票、利率等金融工具则成了主要的期货交易对象。1972年5月，美国芝加哥交易所首此上市标准化通货合约，是第一笔金融期货合约在交易所内上市，使期货合约从实物商品扩展到金融期货商品。1975年10月，美国芝加哥交易所上市第一笔利率期货合约。1982年2月，美国堪萨斯市交易所（KCBOT）首次推出股价指数期货。这项业务1979年就申办了，但5年后才得到批准，拖延的关键原因就是无法解决期货合约到期交割的问题。而现金交割方式最终解决了这一问题。到80年代中期，美、英、德、日、新、港等12个国家和地区的交易所进行了金融期货交易。

由于金融期货交易具有成本低、流动性强及杠杆作用大等特征，目前许多金融期货的交易额都已超过了与之相对应的现货市场交易额，甚至达几倍多。金融期货已占期货市场的大部分份额。1995年世界期货交易量达15亿张合约，其中利率期货占57%。

期货市场在中国的发展如果不算解放前的历史，则是近十年的事。这十年的发展历程可分为四个阶段：

1990年以前为理论探索和准备阶段。

1990年——1992年为初创阶段，以1990年10月12日成立的郑州粮食批发市场为标志，这也是发展中国家第一家期货市场的起点。随后成立的深圳有色金属交易所、上海金属交易所等专业性期货经纪公司的出现，标志着中国期货市场的初创阶段已基本完成。

1993年——1994为无序发展阶段。具体表现在期货交易所和交易所经纪机构发展失控、数量过多、分布失衡；交易品种过滥、重复交易严重；交易行为不规范、纠纷不断，极大地损害了期货市场的形象。

1994年下半年至今为整顿规范阶段。经过分别于1994年及1998年开始的第一次和第二次整顿规范，大量撤并了交易所，由原来的50多家减少到目前仅保留了郑州、上海、大连三家交易所，并且取消了一些条件不成熟的期货交易品种，严格控制境外交易。

期货，特别是金融期货之所以能在短短20年间迅猛发展，与它具有多方面的功能密切相关，其最主要的两个功能如下：

风险转移功能是期货最重要的经济功能，它是通过套期保值来实现的。套期保值的基本原理在于：现货市场价格和期货市场价格通常受同样的经济因素影响而趋于同向变化，否则就会存在明显套利机会。因此商业机构、贸易商等可利用这一特点，通过在期货市场采取与现货市场相反方向的交易操作以达到盈亏互补的目的。这种原理不仅可用于对实物商品进行套期保值，同样也适用于货币、股指等金融工具。

图4.1    随交割日期临近，期货价格与现货价格之间的关系

期货的价格发现功能源于其独特交易方式。期货交易所作为有组织的正规化统一市场，聚集众多的买方和卖方，公开竞价，信息充分、公开，能形成比较真实、客观、反映现货市场的供求情况及其变动趋势的均衡价格，而期货价格又具有连续性和公开性的特点，因而称为权威报价，成为经济生活中重要的参考价格。这一竞争性价格通过现代化的通讯手段迅速传递到世界各地，又形成了世界价格，成为国际贸易定价的重要依据和世界商情研究的重要对象。

远期合约是一种特别简单的衍生证券，它是一份协议，规定签约者在将来某一确定的时间按规定的价格购买或出售某项资产。远期合约通常是在金融机构之间或金融机构与其公司客户之间、或各个大公司之间签署的，它没有标准化的格式和制度化的交易程序，一般不在规范的交易所内交易。远期合约具有如下几个特点：

（1）未规范化、标准化，一般在场外交易，不易流动。由于远期合约是买卖双方直接签定的合约，第三者不易接受。

             买方←→卖方

（2）卖双方易发生违约问题，从合约签定到交割期间不能直接看出履约情况，风险较大。

（3）在合约到期之前并无现金流。

（4）合约到期必须交割，不可实行反向对冲操作来平仓。

期货跟远期合约一样，也是双方签定的在将来某一确定时间、以确定价格购买或出售某项资产的协议。相对于远期合约，期货合约有如下特点：

（1）规范化、标准化，有一系列制度化的交易程序，通常在规范的交易所内交易，流动性强，第三者易于接受。

（2）签定合约不是买卖双方的直接关系，而由结算公司作为中介，解决了信用问题。

          买方←—→结算公司←—→卖方

（3）由于实行保证金制度，逐日盯市、每日无负债结算制度，在签订合约至到期日之间会产生现金流，可以反映合约的执行情况。

（4）期货合约到期不一定交割，可在到期日之前通过反向操作平仓，实际交割的不到2%，尽管如此，正是由于具有最后交割的可能性，才使期货价格与现货价格联系起来。

期货合约的标的资产范围非常广泛，主要包括一些特定的商品和金融资产。根据标的资产不同，又将期货合约分为商品期货和金融期货。商品期货的交易品种包括农产品、畜产品、工业用品、贵金属品、基本金属、能源等。金融期货按交易对象分主要有外汇期货、利率期货和股票指数期货三种。

（1）外汇期货。交易对象是外汇，是为避免汇率风险而产生的。外汇期货合约的交易单位一般用一定数量的外币计价单位来规定，数额巨大。

（2）利率期货。交易对象是金融凭证，在金融市场上，借款人向贷款人开具的载明借款金额、利率水平和还款日期的单据是一种金融凭证。它是一种生息资产，可在市场上买卖，其价格取决于多种因素，但最基本因素是市场利率。当市场利率高于凭证上利率时，凭证价格下降，反之凭证价格上升。

（3）股票及股票指数期货。以股票价格或股票指数点数为交易基础。股票市场的风险分为系统风险和非系统风险。对非市场风险投资者可通过股票组合投资的方式来加以分散，而后一种风险则很难避免，它可以通过股票的期货合同来缓解，但一个投资者却无法买卖所有股票的期货合同。于是股价指数被改造成一种可买卖的商品，利用这种商品的期货合约对整个市场的股票进行保值，因为股价指数基本上代表了整个市场股价变动的趋势和幅度。

 

当无风险利率r恒定时，两个交割日相同的远期合约和期货合约具有同样的价格。当r的变化无法预测时（正如现实中的那样），由于二者的结算方式不一样，可能导致二者的价格不一样。如果标的资产价格S与r高度相关，则当S上升时，持有期货多头会因每日结算而立即获利，同样地，当S下跌时，投资者立即亏损。而持有远期多头将不会因利率变动而受到同样的影响。因此，S与r正相关时，期货多头比远期多头更有吸引力，期货价格要比远期价格高。反之，远期价格比期货价格高。

所以远期价格与期货的差异随合约有效期的增长而变大，但在几个月内可忽略不计。实际上，由于税收、交易费用、保证金的处理方式不同也会使得二者价格不一样；另外，一般而言，期货合约比远期合约流动性更强，更易于交易。但是在大多数情况下，假定二者相等仍是合理的。

金融衍生产品的定价一般用无套利均衡分析的方法，所谓套利，一般有两种形式：（1）不投入资金，获得正的收益；（2）投入资金，获得确定的现金流（收益），但收益率大于无风险收益率。如果金融市场由于套利行为达到有效，那么确定的现金流只能获得无风险收益。我们就可以将不同的金融产品进行组合，让其获得确定的现金流，利用无风险利率贴现对其进行定价。

A：为投资目的而持有的商品，如黄金、白银等

B：为生产消费目的而持有的不易坏商品

C：为生产消费目的而持有的易坏商品

对A类资产，可以通过套利理论得出准确的期货价格；对B类资产，套利理论只能给出价格的上限。

重要假定前提：不存在套利机会，即不存在获取无风险超额利润的机会。

符号规定：

r：无风险利率

t₀：签约时刻

T： 合约到期时刻

t： t∈[ t₀，T]任一时刻

S：标的资产在t时刻的现价

K： 合约中的交割价格

F： 期货或远期价格。即在t时刻签订的、到期时间为T的合约远期价格，它是一种预测价格，期望价格；在合约签订时刻，合约价值为零，F即合约中的交割价格K。

在t时刻，考虑以下两个组合：

1）持有期货合约空头，直到到期日T；

2）投入资金S，持有与合约数量相等的商品，存储成本为u，直到期货到期日T。

如果同时持有这两个组合，则可以获得确定现金流，那么：

对那些持有目的不是为了投资的商品来说，推导期货定价公式时需考虑资产的存储成本和便利收益。个人或公司保留商品的库存是因为其具有消费价值，而非投资价值，因此，他们不会积极主动地出售商品来购买期货合约，因为期货不能消费。

存储成本u：存储成本可看作是负收益，它一般用资产总价的百分比形式给出。

便利收益y：指商品使用者感受到的持有实实在在的商品比持有期货合约来说所具有的好处，它包括：从暂时的商品短缺中获利或具有维持生产运行的能力。这些好处称为商品的便利收益（convenience yield），它一般也是用资产总价的百分比形式给出。

         

因为进行套利活动必须要求储存标的商品，所有以易坏商品为标的资产的期货合约无法通过套利理论来定价。易坏商品的期货价格将受到两个因素的影响，一是预期标的商品的现货价格。二是持有期货头寸的风险补偿。风险补偿的大小和方向因情况不同而各异。即有如下的关系。

期货价格＝预期的现货价格±风险补偿

在期货市场中，当套期保值者在期货市场上是以空头出现的，投机者是多头。因为承担多头的角色有风险，它需要获得相应的补偿。因此，期货价格将低于预期的现货价格，即期货价格＝预期的现货价格－风险补偿，这种关系被称为期货折价（normal backwardation）。

当套期保值者是以多头出现，而投机者是空头时，因为持空头寸要承担风险，所以空头要求一个正的风险补偿作为回报。因此，期货价格将高于预期的现货价格，即期货价格＝预期的现货价格＋风险补偿，这种关系被称为期货溢价（normal contango）。

在绝大多数的商品期货市场中，无论是套期保值者还是投机者都不占优势，多空双方都可以从交易中获得益处，人们没有绝对的理由相信风险补偿应是正还是负。这样，期货价格应等于预期的现货价格。

表4.1：易坏商品期货价格与预期现货价格的关系

F＝E（St）±风险补偿
假设	投资者是风险中性	1、套利者是净空头 2、投机者是净多头	1、  套利者是净多头 2、投机者是净空头
期货价格	F=E(St)	F<E(St)	F>E(St)

注：F代表期货价格，E（S_t）代表预期的现货价格。

假设该证券支付已知现金收益，其在t时刻的现值为I。

A：持有证券：可得到现金收益，所有收益在t时刻的现值为I，相当于投资者在t时刻购入一单位证券只需实际投入资金（S-I）即可，这笔资金在T时刻的终值为 。

B：持有期货合约：在到期之前没有任何收益，故与上例相同，全部投入在T时刻的终值为F。

由于A、B等价，

假设按连续红利率q支付红利，相当于减少了折现率。

A：持有证券：在t时刻投入资金S购买一单位该证券，可获得红利收入，则实际投入在T时刻的终值为 。

B：持有期货合约：同上例，全部投入在T时刻的终值为F。

由于A、B等价，

大部分指数都可看作支付红利的证券。这里的证券就是用来计算该指数的股票组合，证券所付红利就是该组合的持有人收到的红利，设为连续支付红利率q，可得期货价格为

实际上，计算指数的股票组合的红利收益率总是变化的，q可理解为合约有效期间的平均红利收益率，用来估计q的红利应为[t，T]期内的股票的红利。

设 为外汇的无风险利率。

A:持有外汇，在t时刻购入单位外汇需投入S的资金，在T时刻终值为 ，但有无风险收益率 （相当于有红利率的债券），则实际投入至T时刻的终值为 。

B: 持有期货合约：购入一份合约价格为f、到期时刻为T的期货合约,到T时刻交割外汇需K的资金，则全部投入在T时刻的终值为F。

由于A、B等价，则有：

 

 

（1）       互换（Swap）：就是两个互换交易对手之间的协议，它将两个交易对手的现金流进行交换。

（2）       第一笔货币互换产生于1979年的伦敦，第一笔利率互换则产生于1981年的伦敦，直到1989年，互换这种衍生产品才大规模开展交易，目前已成为全球交易量最大的金融衍生产品。

（3）       互换交易根据不同的交换对象，一般可分为：利率互换、货币互换、商品互换和股票收益互换等几个品种。

利率互换由于币种相同，本金不用互换，只须交换利息现金流。

例：A、B两个公司均想发行10年期债券进行筹资，根据投资银行的评估，A公司可以发行利率为11.25％的固定利息债券筹资，也可以发行利率为LIBOR＋0.5％的浮动利息债券进行筹资；B公司则可以发行利率为10.25％的固定利息债券筹资，也可以发行利率为LIBOR的浮动利息债券进行筹资。由上可知，A公司在浮动利率债券市场具有比较优势，而B公司在固定利率债券市场具有比较优势。但A公司管理层希望发行固定利率债券，而B公司管理层则希望发行浮动利率债券。这时，他们可以进行利率互换，如下图：

 

 

 

 

 

 

 

根据上图，我们可以得到：A公司最终可以获得利率为11％的固定利率债务，B公司最终可以获得利率为LIBOR-0.25％的浮动利率债务，分别比他们自己进行筹资低0.25％。他们将平均分配共为0.5％的利益。当然，现实中由于直接找到交易对手不太容易，所以互换交易一般是交易方分别与互换交易商进行的，交易商要分享一部分收益。

货币互换由于币种不同，所以不仅须交换利息现金流，本金也必须互换。

例：A为美国公司，B为德国公司，两个公司均想发行10年期债券进行筹资。根据投资银行的评估，A公司可以发行利率为9.5％的固定利息马克债券筹资，也可以发行利率为LIBOR的浮动利息美元债券进行筹资；B公司则可以发行利率为10.1％的固定利息马克债券筹资，也可以发行利率为LIBOR的浮动利息美元债券进行筹资。由上可知，A公司在固定利率马克债券市场具有比较优势，而B公司在浮动利率美元债券市场具有比较优势。但A公司管理层希望发行浮动利率美元债券，而B公司管理层则希望发行固定利率马克债券。这时，他们就可以进行货币互换。

例：A公司是一个是由生产商，想在五年内固定它的石油收入；B公司是一个石油精炼商，想在五年内固定其石油支出。他们可以进行石油商品互换，如下图：

 

 

 

 

 

 

 

 

（一）、期权的定义和分类

期权为期权的持有者提供了一项在期权到期日或到期日之前以一个固定价格购买或出售一定数量的标的资产的权利。由于期权只包含权利而没有义务，所以期权的购买者需要付出期权费（premium）才能获得期权，并可以自由选择是否执行期权。而对期权的出售者而言，由于获得了期权费，因而当期权的购买者要求执行期权时有义务履行条约，没有选择的权利。

由定义可知，每一张期权合同都包含以下四种要素：

1、期权的到期期限(expiration date)，这是期权在时间上的有效的行使时限，即定义中到期日的时间。

2、期权的执行价格（exercise price），这是行使期权时买卖双方的执行价格，即定义中的固定价格。

3、期权的数量（quantity），这是实施期权的数量界限，即定义中的特定数量。

4、期权的的标的资产，这是期权持有者实施其权利的对象。

按期权所赋予的权利的不同可分为看涨期权（call option）和看跌期权（put option）。看涨期权赋予其购买者在期权到期日或到期日之前的任一时间以固定的价格购买标的资产的权利，又称为买入期权（买权）。看跌期权赋予其购买者在期权到期日或到期日之前的任一时间以固定的价格出售标的资产的权利，又称为卖出期权（卖权）。

有时，我们还有用到以下几种期权的分类方法：

1、按期权的执行时间不同来划分。若期权持有者只能在到期日才能行使权利，则这种期权称为欧式期权（European-Style-Option）；若期权持有者能在到期日之前的任何时间行使权利，则这种期权称为美式期权（American-Style-Option）。

2、按期权的标的资产划分。根据标的资产的不同，可以将期权分为商品期权、股票期权、外汇期权、利率期权、股指期权、期货期权、股指期货期权、外汇期货期权等。

3、按期权交易环境的不同可划分为柜台交易期权和交易所交易期权，前者是为满足某一购买者的特定需求而产生的，而后者是标准化的。

4、按期权执行价格与标的资产市场价格之间的关系，可将期权分为实值期权（in the money）、两平期权（at the money）、和虚值期权（out of the money）。若期权的持有者立即行使期权时有正的现金流量，则称为实值期权；如果现金流量为0，则称为两平期权；如果现金流量为负，则称为虚值期权。

 

（二）、期权的损益

期权到期时的价值决定于到期时标的资产的价格和期权的执行价格。我们记S₀、S_T分别表示现时和到期时的标的资产价格，X表示期权的执行价格，c（S₀，T；X）和p（S₀，T；X）分别表示执行价格为X、到期时间为T的欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格，C（S₀，T；X）和P（S₀，T；X）分别表示相应的美式看涨期权和美式看跌期权的价格。则当期权到期时，对看涨期权的持有者（多头）而言，其收益为：

max（S_T－X，0）

扣除其已支付的期权费则可得到看涨期权的净收益。同样，对看涨期权的出售者（空头）而言，期权到期时的损失为：

－max（S_T－X，0）

再加上期初获得的期权费的收益，即可得到看涨期权空头的净收益。

同样，我们可以得到期权到期时看跌期权多头和空头的损益和净收益。看跌期权多头的损益为：

max（X－S_T，0）

看跌期权空头的损益为：

－max（X－S_T，0）

若记看涨期权和看跌期权的价格分别为C、P，且不考虑期权费的时间价值，则我们可将有关看涨期权和看跌期权的交易总结为表4.2。

 

表4.2    不考虑货币的时间价值时期权的损益

		现　　在	到　期　日
			ST＞X	ST＜X
看涨期权	多头	支付看涨期权价格C，获得执行期权的权利	执行期权，净利 润为ST－X－C	不执行期权，损 失为期权费C
	空头	获得看涨期权费收入C，在期权到期日或到期日之前当多头要求执行期权时有义务以执行价格出售标的资产	有义务执行期权，净损失为C－ST＋X	净收益为C
看跌期权	多头	支付看跌期权价格P，获得执行期权的权利	不执行期权，损失为期权费P	执行期权，净利润为X－ST－P
	空头	获得看跌期权费收入P，在期权到期日或到期日之前当多头要求执行期权时有义务以执行价格购买标的资产	净收益为P	有义务执行期权，净损失为P＋ST－X

 

对看涨期权和看跌期权多头的多头盈亏，我们可以用损益图表示如下：

 

（三）、期权的内在价值与时间价值

考虑某时刻处于虚值状态的看涨期权，这时标的资产的价格低于期权的执行价格，但这并不意味着该期权没有价值。这是因为由于标的资产价格的波动性，很可能在期权到期前使标的资产价格大幅上涨，使得到期时执行期权可获得收益，这就是期权的时间价值。我们称S₀－X为实值期权的内在价值（intrinsic value），它是立即执行期权所带来的收益。对于虚值期权和两平期权来说，其内在价值为0。期权的实际价格与内在价值的差就是期权的时间价值（time value），其实际是期权的价格与期权现时的市场价值之差，是期权价格的一部份，在期权到期日之前其值为正。

期权的大部份时间价值其实是一种波动性价值，只要持有者不执行期权，其收益就不可能小于0，虽然看涨期权现时处于虚值，但仍有正的价格，因为一旦标的资产价格上涨，就有潜在的无限获利机会，而在标的资产价格下跌时，至多是期权以零值失效损失期权费，而不会遭受更多的损失。期权在标的资产价格下跌时提供了保险作用。

随着标的资产价格的大幅上涨，美式看涨期权越来越有可能在到期日前被执行。在几乎肯定要执行的情况下，期权的价格波动性价值达到最小值。随着标的资产价格的进一步升高，期权价值接近经调整的内在价值，即标的资产价格减去执行价格的现值S₀－PV（X）[1]，这也是看涨期权的净价值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图4.3是看涨期权的价值函数，从价值曲线上可以看出，当标的资产价格非常低时，期权价值几乎为零，因为期权几乎没有执行的可能性。而当标的资产价格非常高时，期权价值接近调整的内在价值，这时期权的波动性价值即时间价值很小。在中间阶段，期权近似为两平时，尽管现在执行期权时的收益很小甚至为负，但期权的价格波动性价值（时间价值）却很高。看涨期权的价值总是随着标的资产价值的上涨而增加，当期权处于深度实值时，期权执行几乎是肯定的，期权价值的上涨幅度与标的资产价格的上涨幅度几乎相同。

 

（四）、期权价值的决定因素

期权的价格由标的资产和金融市场相关的一些因素共同决定。影响期权价值的主要因素如下：

1、标的资产当前价值

由于期权是一种价值取决于标的资产价值的资产，因此，标的资产当前价值的变化会影响该资产期权的价值。由于执行看涨期权的收益为S_T－X，因此标的资产当前价值的上升能够增加看涨期权的价值。看跌期权则恰好相反，随着标的资产当前价值的上升，期权的价值将减少。

2、标的资产价格的波动性（即方差）

由于期权的购买者获得了以固定的执行价格买卖标的资产的权利，因此，标的资产价值的波动幅度越大，期权的价值将越高。这是因为期权购买者的损失至多是其付出的期权费，却能从标的资产价格的剧烈波动中获得相当显著的收益。考查以下两种波动性情形，一种是到期日标的资产价格可能在10元至50元内波动，另一种则是在20元至40元内波动，若各种可能情形的概率均为0.2，则这两种情形中标的资产的期望值均为30元。如果看涨期权的执行价格为30元，则期权的收益如表4.3所示：

高波动性情形
标的资产价格	10	20	30	40	50
期权收益	0	0	0	10	20
低波动性情形
标的资产价格	20	25	30	35	40
期权收益	0	0	0	5	10

我们发现在高波动性情况下，期权的期望收益为6元，而在低波动性的情况下，期权的期望收益只有3元。标的资产价格的波动性影响该资产期权价格的原因，归根究底，正是由于期权购买者收益和损失的不对称性造成的，标的资产价格波动性的增加将导致期权价值的增加。

3、标的资产支付的红利

在期权的有效期内，如果标的资产支付红利，将减缓标的资产价值的增长，甚至可能下跌，于是该资产看涨期权的价值将是预期红利支付额的递减函数，而看跌期权则恰好相反。

4、期权的执行价格

对看涨期权而言，期权的价值随着执行价格的上升而降低，看跌期权则恰好相反。

5、期权的到期期限

期权的到期期限越长，该期权的时间价值越大，从而看涨期权和看跌期权将变得更有价值。到期时间对期权价值还有附加影响。对于看涨期权，其购买者在执行期权时需支付固定的执行价格，随着有效期限的延长，这个固定价格的现值是递减的，这进一步增加了看涨期权的价值。对于看跌期权，执行期权时获得收益的现值随着期权有效期限的延长而减小。因而对欧式看跌期权的价值而言，期权到期期限的效果是不确定的。

6、期权有效期内的无风险利率

期权的购买者需预付期权费，因而存在期权费的机会成本，该机会成本的大小取决于利率水平和期权的有效期。而期权的执行价格要在执行期权时才支付，因而要计算执行价格的现值，这是利率从另一方面影响期权的价值。综合来看，利率的升高将使看涨期权的价值上涨，使看跌期权的价值下降。

前面三个因素是与标的资产相关的因素，中间两个因素是与期权合约有关的，利率是与金融市场相关的，现将影响看涨期权和看跌期权的因素及其效果总结为表4.4。

因　素	影　响
	看涨期权价格	看跌期权价格
标的资产价格上涨	上　升	下　跌
标的资产价格变动方差增大	上　升	上　升
红利支付额增加	下　跌	上　升
期权有效期延长	上　升	上升或下跌
执行价格上升	下　跌	上　升
利率上升	上　升	下　跌

 

（五）、期权价值的上下限分析

1、期权价格上限分析

看涨期权的持有者有权以某一确定价格购买标的资产，因此标的资产的价格将是该期权价格的上限。没有人会支付高于S₀的价格去购买实际价值为S₀的标的资产的期权。另一方面，美式期权的提前执行不会带来负面影响，因而其价格不会低于欧式看涨期权的价格。从而，我们有：

c≤C≤S₀

对于欧式看跌期权而言，其持有者有权以X的价格卖出标的资产，到期时期权的价值绝不会超过X，因此现在期权的价格不会超过X的现值。由于美式看跌期权的提前执行不会带来负面影响，因而其价格不会低于欧式看跌期权的价格。于是有：

p≤P≤PV(X)=Xe^-rT

并且在任一时间t（0≤t≤T），有：

p≤P≤Xe^-r(T-t)

否则，投资者可以通过出售看跌期权，将收入投入无风险资产而获得无风险利润。

2、欧式期权价格下限分析

首先考查欧式看涨期权的价格下限。让我们先来构造两个投资组合A和B：

投资组合A：一份欧式看涨期权＋X现值的现金Xe^-r(T-t)

投资组合B：一份标的资产

对于投资组合A，将现金投入无风险资产，在T时将增加到X。如果S_T＞X，则执行看涨期权，此时的价值为S_T；如果S_T＜X，则看涨期权无价值，不执行看涨期权，该组合的价值为X。因此，组合A在T时的价值为：

max(S_T，X)

投资组合B在T时的价值恒为S_T，于是在T时，组合A的价值总是大于等于组合B的价值，因此组合A的现值也应该大于等于组合B的现值，即：

c＋Xe^-r(T-t)≥S₀或c≥S₀－Xe^-r(T-t)

于是，我们有：

c≥max(0,S₀－Xe^-r(T-t))

否则，将存在无风险的套利机会。这里，我们假设标的资产不支付红利。若在期权到期日之前该标的资产支付红利D，则上式变为：

c≥max［0,S₀－PV（X）－PV（D）］

对欧式看跌期权的价格下限可类似的分析，我们有：

p≥max(0, Xe^-r(T-t)－S₀)

对于支付红利的情形，则有：

p≥max［0, PV（X）－S₀＋PV（D）］

3、美式期权价格下限分析

由于美式期权可以在到期日之前提前执行，因而其价值绝不会低于欧式期权的价值。另一方面，美式期权可以立即执行，因而其价格不会低于立即执行所带来的收益，这意味着支付红利的美式期权的下限满足：

C≥max［0,S₀－PV（X）－PV（D），S₀－X］

P≥max［0, PV（X）－S₀＋PV（D），X－S₀］

不支付红利的美式看涨期权的下限与不付红利的欧式看涨期权的下限相同，即：

C≥max(0,S₀－Xe^-r(T-t))

不支付红利的美式看跌期权的下限则为：

P≥max(0, X－S₀)

 

（六）、欧式看涨期权与看跌期权的平价关系

我们来考查如下的投资组合：

出售一个欧式看涨期权，购买一个欧式看跌期权，执行价格均为X，同时以标的资产当前价格S₀购该买该标的资产。

该投资组合当前的现金支出为c－p－S₀。假设期权到期时该标的资产价格为S_T，则该投资组合的到期收益记为表4.5：

头寸	ST＞X时收益	ST＜X时收益
出售欧式看涨期权	X－ST	0
购买欧式看跌期权	0	X－ST
标的资产多头	ST	ST
合　计	X	X

由于该投资组合的到期收益为无风险收益X，由套利原理，必有：

c－p－S₀＝PV（X）＝Xe^-rT

于是，我们得到具有相同执行价格和到期期限且不付红利的欧式看涨期权和欧式看跌期权的平价关系：

c－p＝S₀－Xe^-rT

若在期权有效期内支付红利D，则有如下平价关系：

p＝c－S₀＋PV（X）＋PV（D）

对于美式期权而言，由于存在提前执行的可能性，没有类似的平价关系。

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